Question

19．下列命题正确的是（　　）

• A． 若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=a≠0，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n≠0且$\underset{lim}{n→∞}$b_n≠0
• B． 若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=0，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0或$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0
• C． 若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，则$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$a₁+$\underset{lim}{n→∞}$a₂+…+$\underset{lim}{n→∞}$a_n
• D． 若无穷数列{a_n}有极限，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$a_n+1

Answer 1

分析 对于A，可举a_n=n，b_n=$\frac{1}{n}$，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a_n=n，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$，求出极限即可判断；对于D，可举a_n=$\frac{1}{n}$，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．

解答 解：对于A，若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=a≠0，可举a_n=n，b_n=$\frac{1}{n}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，故A错；
对于B，若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n•b_n）=0，可举a_n=n，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，故B错；
对于C，若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，可举a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$a_n=0，$\underset{lim}{n→∞}$S_n=2，显然$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$a₁+$\underset{lim}{n→∞}$a₂+…+$\underset{lim}{n→∞}$a_n不成立，故C错；
对于D，若无穷数列{a_n}有极限，可举a_n=$\frac{1}{n}$，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，显然$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n+1}$=0，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查数列极限的运算性质的运用，考查命题正确与否的判断方法：列举法，考查推理能力，属于基础题和易错题．