Question

2．命题P：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（4a-3）x+3a，x＜0\\{log_a}（x+1）+1，x≥0\end{array}$（a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，命题q：?x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，x²-a≤0恒成立，若命题p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的性质分别求出命题P，q成立的等价条件建立复合命题真假关系进行求解即可．

解答 解：命题P满足的条件为$\left\{\begin{array}{l}-\frac{4a-3}{2}≥0\\ 0＜a＜1\\ 3a≥1\end{array}\right.$可得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$，…．…．（2分）
命题q满足的条件为：a≥（x²）_max，$x∈[{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，所以  $a≥\frac{1}{2}$…，…..（2分）
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p、q一真一假..…（5分）
若p真q假需满足，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}\\ a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$…..8 分
若p假q真需满足$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{3}或a＞\frac{3}{4}\\ a≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$a＞\frac{3}{4}$..…．（11分）
综上$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{4}$..…（12分）

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．