Question

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（

2

，1）．
（1）求z=

OM

•

OA

的最大值；
（2）求w=

y-3

x-2 2

的最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出平面向量的可行域，（1）化简z=

OM

•

OA

的表达式，利用直线的几何意义求出最大值；
（2）利用w=

y-3

x-2 2

的几何意义直线的斜率，结合图形判断求解最小值即可．

解答： （本小题12分）
解：区域D如图所示，（2分）
（1）z=

OM

•

OA

=（x，y）（

2

，1）=

2

x+y，y=-

2

x+z，这是一族斜率为-

2

，截距为z的平行直线．由图可知，当直线y=-

2

x+z经过可行域上的点B时，截距最大，
此时z=

2

×

2

+2=4，故z的最大值为4．（7分）
（2）w=

y-3

x-2 2

表示M（x，y）与P（2

2

，3）两点所确定直线的斜率，由图可知，当点M为（0，2）时，斜率k_MP最小，此时kMP=

2-3

0-2 2

=

2

4

，
故w的最小值为

2

4

．（12分）

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用表达式的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．