Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A≠0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）在$x=\frac{2π}{3}$时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的图象的一条对称轴是x=$\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 根据题意求出函数f（x）的解析式，再对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

解答 解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为π，
所以$T=\frac{2π}{ω}=π$，
所以ω=2，即函数f（x）=Asin（2x+φ），
又因为函数f（x）=Asin（2x+φ）在$x=\frac{2π}{3}$时取得最大值，
所以$sin（{2×\frac{2π}{3}+φ}）=±1$，
即$2×\frac{2π}{3}+φ=±\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
又因为$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，所以$φ=\frac{π}{6}$，
所以$f（x）={A}sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，其中 A＜0；
对于选项A，因为$f（0）={A}sin\frac{π}{6}=\frac{A}{2}≠\frac{1}{2}$，所以选项A不正确；
对于选项B，因为函数$f（x）={A}sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的单调递减区间满足：
$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
所以f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上是增函数，所以选项B不正确；
对于选项C，因为$f（{\frac{5π}{12}}）={A}sin（{2×\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}}）=0$，
所以f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$，即选项正确；
对于选项D，因为$f（{\frac{5π}{12}}）={A}sin（{2×\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}}）=0$，
所以$x=\frac{5π}{12}$不是f（x）的图象的一条对称轴，即选项D错误．
故选：C．

点评 本题考查了求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．