Question

6．某地区的电价为0.8元/（kW•h），年用电量为1亿kW•h，今年电力部门计划下调电价以提高用电量、增加收益．下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比，比例系数为50．该地区电力的成本是0.5元/（kW•h）．
（1）写出电力部门收益y与实际电价x间的函数关系时；
（2）随着x的变化，y的变化有和规律？
（3）电力部门将电价定为多少，能获得最大收益？

Answer 1

分析 （1）根据题意可写出下调电价后新增的用电量，从而可得电力部门收益y与实际电价x间的函数关系式；
（2）根据（1）中建立的函数，求导，令导数等于0，分析单调性即可得解．
（3）求出x=0.64时的函数值，进行比较，最大的就是最大值．

解答 解：（1）设下调后的电价为x元/（kW•h），
依题意知用电量增至1+50（x-0.8）²，
电力部门的收益为：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5），0.5＜x＜0.8．
（2）由（1）知：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5）=50x³-105x²+73x-16.5，0.5＜x＜0.8，
∴y′=150x²-210x+73．
令y′=0，解得x=0.76，或x=0.64．
可得：当0.5＜x＜0.64时函数递增；
当0.64＜x＜0.76时函数递减；
当0.76＜x＜0.8时函数递增；
x=0.64，x=0.76为函数的极值点；
（3）由（2）知电力部门将电价定位0.64元/（kW．h）时，
可以获得最大受益，最大受益为0.3192亿元．

点评 本题主要考查实际问题中的数据提取和分析能力，考查导数再求函数最大值中的应用，属于中档题．