Question

17．设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是$x∈M=[{-\frac{1}{2}，2}）$的必要条件，则a的取值范围为$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义，结合一元二次不等式的解法建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：若x∈N是$x∈M=[{-\frac{1}{2}，2}）$的必要条件，
则M⊆N，
若a=1时，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．
若a＜1，则N=（a，2-a），则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{2-a≥2}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≤0}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，此时a≤-$\frac{1}{2}$，
若a＞1，则N=（2-a，a），则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥2}\\{2-a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥2}\\{a≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，此时a≥$\frac{5}{2}$，
综上$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$，
故答案为：$a≤-\frac{1}{2}或a≥\frac{5}{2}$

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．