Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）将代入椭圆方程求出点纵坐标，得到，且等于，再由离心率和关系，即可求解；

（Ⅱ）设点，求出线，的斜率，，由点的椭圆上，得到为定值，分别求出坐标，证明即可.

（Ⅰ）代入椭圆方程得，

由，得，

又因为且，

得，，，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设点，

则得，

又设直线，的斜率分别为，，

则，，

所以，

∴直线：，直线：，

所以点，，

由，

所以以线段为直径的圆过定点，

同理，以线段为直径的圆过定点.