Question

14．如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A区域或B区域中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是$\frac{1}{2}$．
（1）分别求出小球落入A区域和B区域中的概率；
（2）若在容器入口处依次放入3个小球，记X为落入B区域中的小球个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记“小球落入A区域”为事件M，“小球落入B区域”为事件N，事件M的对立事件为事件N，小球落入A区域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，由此能分别求出小球落入A区域和B区域中的概率．
（2）由题意随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B（3，-$\frac{3}{4}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记“小球落入A区域”为事件M，“小球落入B区域”为事件N，
则事件M的对立事件为事件N，
而小球落入A区域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．
∴P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．
（2）由题意随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B（3，-$\frac{3}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{3}=\frac{1}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
∵X的分布列为：

X	0	1	2	3$\frac{27}{64}$
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

EX=$3×\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．