题目内容
已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，满足（
+
）•
=0（O为坐标原点），且|PF1|=
|PF2|，则双曲线离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| 3 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由向量的三角形法则和向量的数量积的性质，可得|
|=|
|=c，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2=90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．
| OP |
| OF2 |
解答：
解：（
+
）•
=0，
即（
+
）•（
-
）=0，
即有
2=
2，
则|
|=|
|=c，
即有O为△PF1F2外接圆的圆心，
即有∠F1PF2=90°，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
又|PF1|=
|PF2|，
则|PF1|=（3+
）a，|PF2|=（
+1）a，
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即（3+
）2a2+（
+1）2a2=4c2，
即有c2=（4+2
）a2，
e=
=
+1．
故答案为：1+
．
| OP |
| OF2 |
| F2P |
即（
| OP |
| OF2 |
| OP |
| OF2 |
即有
| OP |
| OF2 |
则|
| OP |
| OF2 |
即有O为△PF1F2外接圆的圆心，
即有∠F1PF2=90°，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
又|PF1|=
| 3 |
则|PF1|=（3+
| 3 |
| 3 |
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即（3+
| 3 |
| 3 |
即有c2=（4+2
| 3 |
e=
| c |
| a |
| 3 |
故答案为：1+
| 3 |
点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
过点（2，
）且平行于极轴的直线的坐标方程为（ ）
| π |
| 3 |
A、ρsinθ=
| ||
B、ρcosθ=
| ||
| C、ρsinθ=2 | ||
| D、ρcosθ=2 |
若函数f（x）满足：?x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，则称f（x）∈Ψ．对于函数g（x）=x3-x，h（x）=
，有（ ）
|
| A、g（x）∈Ψ且h（x）∈Ψ |
| B、g（x）∈Ψ且h（x）∉Ψ |
| C、g（x）∉Ψ且h（x）∈Ψ |
| D、g（x）∉Ψ且h（x）∉Ψ |