Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：f′（x）=3ax²-6x+3，其判别式△=36-36a=，讨论判别式的符号，由二次函数性质可知f′（x）的符号，判断函数的单调性，求出恒函数的单调区间；

解答： 解：函数f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²-6x+3，其判别式△=36-36a=36（1-a），
当a≥1，∴△≤0，对任意实数，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，单调增区间是R．
当a∈（0，1）时，△＞0，3ax²-6x+3=0，即ax²-2x+1=0，
解得：x=

2±2 1-a

2a

=

1± 1-a

a

，
x∈（-∞，

1- 1-a

a

）时f′（x）＞0，函数是增函数，
x∈（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）时f′（x）＜0，函数是减函数，
x∈（

1+ 1-a

a

，+∞）时f′（x）＞0，函数是增函数．
综上：当a≥1时，函数的单调增区间是R．
当a∈（0，1）时，函数的增区间是：（-∞，

1- 1-a

a

），（

1+ 1-a

a

，+∞）．
单调减区间是：（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性的知识，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．