Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，椭圆上动点到点的最远距离和最近距离分别为和.

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若，为坐标原点，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆上动点到点的最远距离和最近距离求得的值，由此求得的值，结合求得的值，进而求得椭圆方程.

（2）解法一：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合求得的值，然后根据三角形的面积公式求得三角形的面积.解法二：主要步骤和解法一相同，不同点在于采用代数式恒等变换求得的值，其它步骤与解法一相同..

（1）设，由已知，.∴.∴.则椭圆的方程为.

（2）解法1：设.与椭圆联立得.化简得.设，由韦达定理，有.又，.

.

∴.则.联立得.

则.即.

∴.

∴.

解法2：设.，

与椭圆联立得.化简得.

其两个分别为，∴.①

又..

∵.化简得到.②

在①中，令，得.③

令，.∴，.④

将③、④代入②得.解得.

则.即.

∴.

∴.