Question

【题目】已知函数，证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）设,对求导可知在上单调递减,利用零点存在性定理可得在上有唯一的零点,进而求证即可；

（2）利用导函数分别讨论,,的单调性,判断函数图象的性质,进而求证即可.

证明:(1)设,

当时,,

所以在上单调递减,

又因为,,

所以在上有唯一的零点,

即函数在上存在唯一零点,

当时,,在上单调递增；

当时,,在上单调递减,

所以在上存在唯一的极大值点

(2)①由(1)知:在上存在唯一的极大值点,

所以,

又因为,

所以在上恰有一个零点,

又因为,

所以在上也恰有一个零点,

②当时,,,

设,,

所以在上单调递减,所以,

所以当时,恒成立,

所以在上没有零点,

③当时,,

设,,

所以在上单调递减,

所以,

所以当时,恒成立,

所以在上没有零点,

综上,有且仅有两个零点.