Question

【题目】已知函数，，函数在，处取得极值，其中.

（1）求实数t的取值范围；

（2）判断在上的单调性并证明；

（3）已知在上的任意、，都有，令，若函数有3个不同的零点，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上单调递增，见解析；（3）

【解析】

（1）将问题转化为二次函数有两个不相等的正根的问题，根据一元二次方程根的分布问题求解即可；

（2）对求导，结合（1）中所求，求得导函数主导因式的正负，据此判断函数的单调性即可；

（3）由题意知道，结合（1）中所求，联立的方程组，解得，再将问题转化为值域求解的问题，即可得到参数的范围.

（1）∵有两个不等正根，

即方程有两个不等正根a、b

∴且，，

解得：.

（2），

令，则的对称轴为.

∴在上的最小值为，

∴，于是在上单调递增.

（3）由（2）可知：在上单调递增，

∴，

即

又，，，

解得：，

∴，

∴，

∴在，上递增，在上递减

且当或时，

∴的极大值为，的极小值为，

又当时，；当时，，

∴当时，方程有3个不同的解，

∴实数的取值范围为.