题目内容
【题目】设椭圆中心在坐标原点，
是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求四边形
面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
，
直线
的方程分别为
，
．············ 2分
如图，设
，其中
，
且
满足方程
，故
．①
由
知
，得
；
由
在
上知
，得
．所以
，
化简得，解得
或．················ 6分
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点
到的距离分别为
，
．9分
又
，所以四边形
的面积为
，
当，即当
时，上式取等号．所以
的最大值为
．
【解析】
试题（Ⅰ）由题意易得椭圆方程，直线的方程，再设
，
满足方程
，把用坐标表示出来得，又点在直线上，则，根据以上关系式可解得
的值；（Ⅱ）先求点E、F到AB的距离，再求
，则可得面积
，然后利用不等式求面积的最大值.
试题解析：（I）依题意，得椭圆的方程为， 1分
直线
的方程分别为
， 2分
如图设，其中，
满足方程且故
，
由
知，得
， 4分
由点在直线上知，得
， 5分
，化简得
解得
或. 7分
（II）根据点到直线的距离公式和①式知，点E、F到AB的距离分别为
， 8分
， 9分
又
，所以四边形AEBF的面积为
， 11分
当
即当
时，上式取等号，所以S的最大值为
13分
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