Question

【题目】已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．

（1）求的值；

（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点在定直线上．

【解析】

（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；

（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；

解：（1）依题意设直线的方程为，

由已知得：圆的圆心，半径，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

即，解得或（舍去）．

所以；

（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，

所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，

所以切线的方程为．

令，，即交轴于点坐标为，

所以， ，

，

．

设点坐标为，则，

所以点在定直线上．