Question

已知函数f（x）=asin（2x+

π

3

）+1（a＞0）的定义域为R，若当-

7π

12

≤x≤-

π

12

时，f（x）的最大值为2，（1）求a的值；
（2）用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．
（3）写出该函数的对称中心的坐标．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由x的范围，求出2x+

π

3

的范围，再根据函数的最大值，继而求出a的值，
（2）列表描点连线即可
（3）根据正弦函数图象与性质，令原题中三角函数中的角度等于kπ，解出x，即为对称中心的横坐标，又纵坐标为1，从而得到对称中心坐标．

解答：解：（1）当-

7π

12

≤x≤-

π

12

时，则-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

6

∴当2x+

π

3

=

π

6

，f（x）有最大值为

a

2

+1．
又∵f（x）的最大值为2，∴

a

2

+1=2，解得：a=2．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
令2x+

π

3

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，则求出对应的x与y的值

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	3	-1	1	3

画出函数在区间[-

π

6

，

5π

6

]的图象如下图


（3）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的对称中心的横坐标为

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又∵函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的图象是函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象向上平移一个单位长度得到的，∴函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
的对称中心的纵坐标为1．
∴对称中心坐标为（

kπ

2

-

π

6

，1）k∈Z

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，最值的应用，单调性的应用，考查逻辑思维能力，是基础题