Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=6，f（x+1）=f（x）+4x
（1）求f（x）的解析式；
（2）令g（x）=

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2

f（|x|）+m（m∈R），若g（x）有4个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，f（x）+4=ax²+（b+4）x+c
∵f（0）=6；f（x+1）=f（x）+2x
∴a=2，b=-2，c=6，
∴f（x）=2x²-2x+6，
（2）依题意函数g（x）=

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2

f（|x|）的图象与直线y=-m有4个交点．由图可知：

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4

＜-m＜3
∴-3＜m＜-

11

4

点评：本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，考查等价转化的能力、利用数形结合解题的数学思想方法是重点，要重视．