Question

如图所示的抛物线y=-

1

20

（1+k²）x²+kx（k＞0，0≤x≤S）刻画的是某种炮弹发射后的飞行轨迹，其中x、y分别表示炮弹从发射点到即时位置在水平方向上和竖直方向上的位移，且其单位均为千米．炮弹的射程是指炮弹在地平面上的落地点的横坐标S，炮弹的射高是指炮弹飞行轨迹的最大高度．
（1）求当炮弹的射程为10千米时k值；
（2）求炮弹的射高关于k的函数g（k）；
（3）问：是否存在k的值，使得通过适当调整炮弹的发射方位，就能击中飞行高度为5千米的飞行物．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数与方程的综合运用

专题：应用题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得：点（10，0）在抛物线上，代入可求当炮弹的射程为10千米时k值；
（2）由题意得：炮弹的射高为抛物线顶点的纵坐标，即可求炮弹的射高关于k的函数g（k）；
（3）求得炮弹飞行轨迹的最大高度小于5千米，可得结论．

解答： 解：（1）由题意得：点（10，0）在抛物线上，…（2分）
∴-

1

20

（1+k²）×10²+10k=0，解得：k=1．…（4分）
（2）由题意得：炮弹的射高为抛物线顶点的纵坐标，
∴g（k）=

-k2

4[- 1 20 (1+k2)]

=

5k2

1+k2

（k＞0）．…（8分）
（3）g（k）=5（1-

1

1+k2

），
∵k＞0，∴0＜

1

1+k2

＜1，∴0＜g（k）＜5，
∴炮弹飞行轨迹的最大高度小于5千米，
∴炮弹不可能击中飞行高度为5千米的飞行物．…（12分）
答：（1）求当炮弹的射程为10千米时k值为1；（2）炮弹的射高关于k的函数g（k）=

5k2

1+k2

（k＞0；（3）不存在k的值，使得通过适当调整炮弹的发射方位，就能击中飞行高度为5千米的飞行物．

点评：本题考查函数模型的运用，考查求函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．