Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左右焦点，A是双曲线右支上的动点．
（1）若点M（5，1）求|AM|+|AF₂|的最小值；
（2）若点M（5，n）求|AM|+|AF₂|的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）求出双曲线的a，b，c，焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），运用双曲线的定义可得|AM|+|AF₂|=|AM|+|AF₁|-8，连接MF₁，由两点间线段最短，即可得到最小值；
（2）讨论当|n|≤

9

4

时，M在双曲线上或开口之内，连接MF₁，当|n|＞

9

4

时，M在双曲线的开口之外，连接MF₂，
由两点间最短，即可得到最小值．

解答： 解：（1）双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的a=4，b=3，
c=

16+9

=5，F₁（-5，0），F₂（5，0），
则由定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a=8，
|AM|+|AF₂|=|AM|+|AF₁|-8，
连接MF₁，则|AM|+|AF₁|-8≥|MF₁|-8
=

(5+5)2+1

-8=

101

-8，
当且仅当M，A，F₁共线时，取得最小值，
且为

101

-8；
（2）当|n|≤

9

4

时，M在双曲线上或开口之内，
则连接MF₁，则|AM|+|AF₁|-8≥|MF₁|-8
=

(5+5)2+n2

-8，
当且仅当M，A，F₁共线时，取得最小值，且为

100+n2

-8；
当|n|＞

9

4

时，M在双曲线的开口之外，连接MF₂，
则|AM|+|AF₂|≥|MF₂|=|n|．
当且仅当M，A，F₂共线时，取得最小值，且为|n|．
综上可得，当|n|≤

9

4

时，|AM|+|AF₂|的最小值为

100+n2

-8；
当|n|＞

9

4

时，最小值为|n|．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查两点之间线段最短，考查两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．