Question

8．已知函数f（x）=sin²x+acosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{3}{2}$，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值最小值及相应的x的集合；
（2）如果对于区间[0，$\frac{π}{2}$]上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 可得f（x）=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
（1）当a=1时，f（x）=-t²+t+$\frac{1}{8}$=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，即可求解
 （2）f（x）=-（cosx-$\frac{1}{2}a）^{2}$²+$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}$
 在[0，$\frac{π}{2}$]上，cosx∈[0，1]，分以下情况求解
①$0≤\frac{a}{2}≤1$，②$\frac{a}{2}＜0$，③$\frac{a}{2}＞1$，

解答 解：化简可得f（x）=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
（1）当a=1时，f（x）=-t²+t+$\frac{1}{8}$=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
因为x∈R，所以t∈[-1，1]，
关于t的二次函数开口向下，对称轴为t=$\frac{1}{2}$，
故当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值f（x）_max=$\frac{3}{8}$，此时cosx=$\frac{1}{2}$，x的集合为{x|x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z}
当t=-1时，函数取最小值f（x）_min=-$\frac{15}{8}$，此时cosx=-1，x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}
 （2）f（x）=-（cosx-$\frac{1}{2}a$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}$，
在[0，$\frac{π}{2}$]上，cosx∈[0，1]，
当$0≤\frac{a}{2}≤1$时，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}≤1$，解得-4$≤a≤\frac{3}{2}$，则0$≤a≤\frac{3}{2}$；
 当$\frac{a}{2}＜0$时，f（x）_max=$\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}≤1$，解得a$≤\frac{12}{5}$，则a≤0；
当$\frac{a}{2}＞1$，时，f（x）_max=a+$\frac{5a}{8}+\frac{1}{2}≤1$，解得a$≤\frac{20}{13}$，无解．
综上，a的取值范围时（-$∞，\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了三角恒等变形、含参数二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．