Question

17．若圆C₁：x²+y²=m与圆C₂：x²+y²-6x-8y+16=0外切．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若圆C₁与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C₁上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的圆心坐标，利用相切列出方程，即可求实数m的值；
（Ⅱ）求出点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），设P点的坐标为（x₀，y₀），推出点M的坐标为（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），点N的坐标为（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），表示出四边形ABNM的面积，利用点P在圆C₁上，得x₀²+y₀²=4，化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圆C₁的圆心坐标（0，0），半径为$\sqrt{m}$（m＞0），
圆C₂的圆心坐标（3，4），半径为3，圆心距为：5，
又两圆外切，得$\sqrt{m}+3=5$，解得m=4．
（Ⅱ）由题易得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），圆C₁：x²+y²=4，
设P点的坐标为（x₀，y₀），x₀，y₀∈（-2，0）．
由题意，得点M的坐标为（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），点N的坐标为（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四边形ABNM的面积S=$\frac{1}{2}$|AN||BM|=$\frac{1}{2}|2-\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}||2-\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}|$=|$\frac{1}{2}•\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}•\frac{4-2{x}_{0}-2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$|=|$\frac{1}{2}•\frac{（{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）}^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$|，
由点P在圆C₁上，得x₀²+y₀²=4，
∴四边形ABNM的面积S=$\frac{4（4-2{x}_{0}-2{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}）}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}=4$，
∴四边形ABNM的面积为定值4．

点评 本题考查两个圆的位置关系以及圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．