Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对?n∈N^*有2S_n=a_n²+a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

an an+1 +an+1 an

，设{b_n}的前n项和为T_n，求T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理数的个数．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式可得a_n-a_n-1=1．利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=n，可得b_n=

1

n n+1 +(n+1) n

=

n

n

-

n+1

n+1

，利用“裂项求和”可得：{b_n}的前n项和为T_n=1-

n+1

n+1

，根据n+1必定是平方数即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴当n=1时，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁=1；
当n≥2时，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1，2an=

a

2 n

+an-(

a

2 n-1

+an-1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，∵?n∈N^*有a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=n．

（2）b_n=

1

an an+1 +an+1 an

=

1

n n+1 +(n+1) n

=

n

n

-

n+1

n+1

，
∴{b_n}的前n项和为T_n=(1-

2

2

)+(

2

2

-

3

3

)+…+(

n

n

-

n+1

n+1

)
=1-

n+1

n+1

，
∴T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中只有取n=3，8，15，24，35，48，63，80，99时，T_n才为有理数．
∴T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理数的个数为9．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、平方数，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．