Question

椭圆x²+4y²=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，代入椭圆方程可得，x₁²+4y₁²=36，x₂²+4y₂²=36，两个方程作差可求得直线斜率，利用点斜式可得直线方程，注意检验．

解答： 解：设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
代入椭圆方程可得，x₁²+4y₁²=36，①，
x₂²+4y₂²=36②
①-②得，（x₁+x₂）（x₁-x₁）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，
由点斜式方程可得直线方程为：y-2=

1

2

（x-4），即x+2y-8=0，
经检验符合题意，
故答案为：x+2y-8=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，属中档题，涉及弦中点问题常采取“平方差法”解决．