Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，并且|F₁F₂|=6，动点P在椭圆C上，△PF₁F₂的周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点M满足|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1且$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，求|$\overrightarrow{PM}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义和焦距的概念，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1知，点M在以F₂为圆心，以1为半径的圆上．由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0知，PM为圆F₂的切线，M为切点，故|PM|²=|PF₂|²-1，设P（x₀，y₀），代入椭圆方程，运用两点的距离公式，化简配方，由题意的范围，可得最小值．

解答 解：（1）由椭圆的定义和焦距的概念，得2c=6，且2a+2c=16．
解得a=5，c=3，b²=a²-c²=25-9=16，
即有椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）由|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1知，点M在以F₂为圆心，以1为半径的圆上．
由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0知，PM为圆F₂的切线，M为切点，
故|PM|²=|PF₂|²-1，
当|PF₂|取最小值时，|PM|取最小值，
设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}$=1，即有y₀²=16-$\frac{16}{25}$x₀²，
则|PF₂|²=（x₀-3）²+y₀²=（x₀-3）²+16-$\frac{16}{25}$x₀²=$\frac{9}{25}$（x₀-$\frac{25}{3}$）²，
又-5≤x₀≤5，当x₀=5时，|PF₂|²的最小值为4，
所以|PM|的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查向量的模和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．