Question

13．己知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都圆x²+y²=1上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得焦点为（±1，0），短轴的端点为（0，±1），可得b=c=1，求得a，进而得到椭圆方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简计算即可得到所求k的值．

解答 解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x²+y²=1上，
可得b=1，c=1所以a²=2，
所以椭圆C的方程；$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
因为OA⊥OB，所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-1$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
而${y_1}{y_2}={k^2}（{x_1}-2）（{x_2}-2）$，所以${x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}-2）（{x_2}-2）=0$，
所以$\frac{{（1+{k^2}）（8{k^2}-2）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{16{k^4}}}{{1+2{k^2}}}+4{k^2}=0$，
解得：${k^2}=\frac{1}{5}$，此时△＞0，所以$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．