Question

9．已知椭圆C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同的焦点，且椭圆C的离心率为e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l：y=$\frac{1}{2}$（x-3）与椭圆C交于不同的两点P，Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右焦点为F，求△PFQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的焦点，可得c=$\sqrt{3}$，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）求得椭圆的右焦点，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）因为双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的焦点为（±$\sqrt{3}$，0），
所以由题意得a²=b²+3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，
 解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-3）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得x²-2x-1=0．
由直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，
设P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
即有△=8，x₁+x₂=2，x₁x₂=-1，
则|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4+4}$=$\sqrt{10}$，
右焦点F（$\sqrt{3}$，0）到直线l的距离d=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
则△PFQ的面积为$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用弦长公式和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．