Question

14．若函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁、x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列三个函数中：（1）f（x）=$\frac{1}{x}$；（2）f（x）=x+1；（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，能被称为“理想函数”的有（3）（填相应的序号）．

Answer 1

分析 由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给三个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则称函数f（x）为“理想函数”，
∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在（1）中，f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函数，但不是减函数，故（1）不是“理想函数”；
在（2）中，f（x）=x+1在（-∞，+∞）内是增函数，故（2）不是“理想函数”；
在（3）中，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，是奇函数，且是减函数，故（3）能被称为“理想函数”．
故答案为：（3）．

点评 本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．