题目内容
设函数f（x）=alnx+
-2a，若对于任意的a∈（1，4），x∈（0，+∞）总有f（x）＞0，则最小的正整数b= ．
| b |
| x |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：综合题,导数的综合应用
分析：求导数，确定函数的单调性，可得f（x）≥（
）=a[ln（
）-1]＞0，即可求出最小的正整数
| b |
| a |
| b |
| a |
解答：
解：∵f（x）=alnx+
-2a，
∴f′（x）=
，a属于（1，4）
x＞
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x＜
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）≥（
）=a[ln（
）-1]＞0，
∴ln（＜
）-1＞0，
∴ln（＜
）＞1，
∴
＞e，
∴b＞ae，∴b≥4e
∴最小的正整数b=11．
故答案为：11．
| b |
| x |
∴f′（x）=
| ax-b |
| x2 |
x＞
| b |
| a |
| b |
| a |
所以f（x）≥（
| b |
| a |
| b |
| a |
∴ln（＜
| b |
| a |
∴ln（＜
| b |
| a |
∴
| b |
| a |
∴b＞ae，∴b≥4e
∴最小的正整数b=11．
故答案为：11．
点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目