Question

13．已知{a_n}为等比数列，其中a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2n-1+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；
（2）b_n=2n-1+a_n，=（2n-1）+（$\frac{1}{2}$）^n-1；运用数列的求和方法：分组求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
a₂，a₃+a₅，a₄成等差数列，可得
2（a₃+a₅）=a₂+a₄，
即有2（q²+q⁴）=q+q³，
解得q=$\frac{1}{2}$（0舍去），
a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=2n-1+a_n，
=（2n-1）+（$\frac{1}{2}$）^n-1；
前n项和T_n=（1+3+5+…+2n-1）+[1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$
=n²+2-2^1-n．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，属于中档题．