已知$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$sinωx.cosωx).$\overrightarrow{n}$==$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．的单调递增区间,(2)若△ABC中内角A.B.C的对边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，-cosωx）（ω＞0，x∈R），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$且f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=$\sqrt{7}$，f（B）=0，sinA=3sinC，求a，c的值及△ABC的面积．

分析（1）根据f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$，利用向量的运用，求解f（x）解析式，化简，根据f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．求解ω．即可求解函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（B）=0，求解B角大小．利用b=$\sqrt{7}$，sinA=3sinC，正余弦定理求解a，c和△ABC的面积．

解答解：由题意：$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，-cosωx）（ω＞0，x∈R），
由f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx$-\frac{1}{2}$cos2ωx-1=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）-1
∵相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=1
函数f（x）的解析式为$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
（1）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，则kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$．
∴f（x）的单增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]，k∈Z$．
$\begin{array}{l}（2）f（B）=sin（2B-\frac{π}{6}）-1=0，\\∵0＜B＜π，\\∴-\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}，\\∴2B-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，\\∴B=\frac{π}{3}，\end{array}$
$\begin{array}{l}sinA=3sinC，\\∴a=3c．\end{array}$
在△ABC中，由余弦定理可得：
$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{9{c^2}+{c^2}-7}}{{6{c^2}}}=\frac{{10{c^2}-7}}{{6{c^2}}}=\frac{1}{2}$，
∴c=1，a=3．
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×3×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评本题考查了向量的运算和三角函数的化解能力，正余弦定理的运用，考查计算能力．属于中档题．