Question

已知集合P={x|x²-4px+2p+6=0}，Q={x|x＜0，x∈R}，若P∩Q≠∅，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：本题可从P∩Q=∅来考虑，有两种情况：方程x²-4px+2p+6=0有两个非负实根，无实数根，分别求出p的取值范围，再求并集，最后再求补集．

解答： 解：若P∩Q是空集，因为集合A是方程x²-4px+（2p+6）=0的根的集合，所以必须使得方程有大于或等于0的根或没有实数根即可．
设y=x²-4px+（2p+6），那可以先求出P∩Q是空集的实数p的范围，然后再取这个范围的补集．
（1）若P是空集，则P∩Q为空集，
则△=（4p）²-4（2p+6）＜0
2p²-p-3＜0
得：-1＜p＜

3

2

．
（2）若P不是空集，则要使得P∩Q等于空集，则只要方程两根非负即可，得：
①△≥0，得：p≤-1或p≥

3

2

；
②x₁+x₂=4p≥0，得：p≥0；
③x₁x₂=2p+6≥0，得：p≥-3
综合①、②、③，得：p≥

3

2

．
综合（1）、（2），得P∩Q为空集时，有p＞-1
从而，要使得P∩Q≠φ，则p≤-1，
所以实数p的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题若从正面考虑需分三种情况讨论：方程x²-4px+2p+6=0有两个负根，有一正一负根，有一负一零根；但从P∩Q=∅来考虑只有两种情况，这样简化了运算，采用了正难则反的思想，同学应掌握．本题属于中档题．