Question

已知函数f（x）

-x2+2x，(x＞0) 0，            (x=0) x2+2x，(x＜0)

．
（1）求证函数y=f（x）是奇函数；
（2）试作出函数y=f（x）是的图象；
（3）若函数y=f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，验证f（-x）=-f（x）即可；
（2）根据函数是奇函数，作出y轴一侧的图象，即可作出函数y=f（x）是的图象；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知，

a-2＞-1 a-2≤1

，即可求实数a的取值范围．

解答： （1）证明：?x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x=-f（x）；      …（2分）
又?x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x=-f（x）；        …（3分）
且f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）．…（4分）
∴f（x）为奇函数．…（5分）
（2）解：图象如图．…（9分）
（3）解：要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知，

a-2＞-1 a-2≤1

，
∴1＜x≤3，
故实数a的取值范围是（1，3]．…（12分）

点评：本题考查分段函数，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．