Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=2且S₈=-52．数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=4-b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

|an|

bn

，求数列{c_n}的前n项和L_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题设条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组能求出等差数列的首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=4-b_n，分别求出T_n，T_n-1，两式相减后进行整理能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由数列{a_n}、{b_n}的通项公式及cn=

|an|

bn

，推导出c_n=

(7-3n)•2n-2，n≤2 (3n-7)•2n-2，n＞3

，由此利用分类讨论法和错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和L_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₃=2且S₈=-52，
∴

2a1+2d=2 8a1+28d=-52

，解之得

a1=4 d=-3

，
故a_n=7-3n；…（3分）
当n≥2时，T_n=4-b_n，且T_n-1=4-b_n-1，两式相减得

bn

bn-1

=

1

2

  (n≥2)．
由已知得b₁=4-b₁，解得b₁=2，
∴

a2

a1

=

1

2

．
故数列{b_n}是首项为b₁=2、公比q=

1

2

的等比数列，
∴bn=2(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2．…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=7-3n，bn=(

1

2

)n-2，
∴cn=

|an|

bn

=

|7-3n|

( 1 2 )n-2

=|7-3n|•2^n-2
=

(7-3n)•2n-2，n≤2 (3n-7)•2n-2，n＞3

，
（1）当n=1时，L_n=2；
（2）当n=2时，L_n=3； …（9分）
（3）当n≥3时，Ln=3+2•21+5•22+8•23+…+(3n-7)•2n-2，
2L_n=6+2•2²+5•2³+…+（3n-10）•2^n-2-（3n-7）•2^n-1，
两式相减得：
-Ln=-3+4+3•22+3•23+…+3•2n-2-(3n-7)•2n-1
=1+3（2²+2³+…+2^n-2）-（3n-7）•2^n-1
=-11-（3n-10）•2^n-1
故Ln=11+(3n-10)•2n-1．
所以Ln=

2                          (n=1) 3                          (n=2) 11+(3n-10)•2n-1  (n≥3)

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和错位相减法的合理运用．