Question

1．已知长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E为D₁C₁的中点，如图所示．
（1）在所给图中画出平面ABD₁与平面B₁EC的交线（不必说明理由）；
（2）证明：BD₁∥平面B₁EC；
（3）求平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，交B₁C于M，直线ME即为平面ABD₁与平面B₁EC的交线．
（2）推导出EM∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面B₁EC．
（3）平面B₁EC上点B₁作BC₁的垂线，交BC₁于F，过点F作直线EM的垂线，交EM于N，连结B₁N，由三垂线定理知B₁N⊥EM，∠B₁NF就是平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）连结BC₁，交B₁C于M
则直线ME即为平面ABD₁与平面B₁EC的交线，
如图所示．
证明：（2）由（1）∵在长方体AC₁中，M为BC₁的中点，
又E为D₁C₁的中点，
∴在△D₁C₁B中EM是中位线，∴EM∥BD₁，
又EM?平面B₁EC，BD₁?平面B₁EC，
∴BD₁∥平面B₁EC．
解：（3）∵在长方体AC₁中，AD₁∥BC₁，
平面ABD₁即是平面ABC₁D₁，
过平面B₁EC上点B₁作BC₁的垂线，交BC₁于F，如图①，
∵在长方体AC₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，∴B₁F⊥AB，
∵BC₁∩AB=B，∴B₁F⊥平面ABD₁于F，
过点F作直线EM的垂线，交EM于N，如图②，
连结B₁N，由三垂线定理知B₁N⊥EM，
由二面角的平面角定义知，在Rt△B₁FN中，∠B₁NF就是平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的平面角，
∵长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，
在平面图①中，B₁F=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
FM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，C₁M=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，C₁E=1，
在平面图②中，
由△EMC₁∽△FMN₁，得FN=$\frac{E{C}_{1}•FM}{EM}$=$\frac{1×\frac{3\sqrt{5}}{10}}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$∠{B}_{1}NF=\frac{{B}_{1}F}{NF}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}•\frac{5}{\sqrt{5}}$=2，
cos$∠{B}_{1}NF=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查交线的作法，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．