Question

11．已知函数f（x）=a（lnx-1）-x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0对任意x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负可得f（x）的单调区间；
（2）由（1）可知，a≤0时，恒成立；a＞0时，f（a）=a（lna-1）-a≤0，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=a（lnx-1）-x，
∴f′（x）=$\frac{a-x}{x}$，
a≤0时，f′（x）＜0，函数单调递减，递减区间是（0，+∞）；
a＞0时，0＜x＜a，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞a，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴递增区间是（0，a）；递减区间是（a，+∞）；
（2）由（1）可知，a≤0时，恒成立；
a＞0时，f（a）=a（lna-1）-a≤0，∴a＜e，∴0＜a＜e，
综上所述，a＜e．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．