Question

8．在平面区域{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}上恒有ax+3by≤4，则动点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 欲求平面区域的面积，先要确定关于a，b的约束条件，根据恒有ax+3by≤4成立，a≥0，b≥0，确定出ax+3by的最值取到的位置从而确定关于a，b约束条件．

解答 解：平面区域{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}，如图：
当a≥0，b≥0
t=ax+3by最大值在区域的右上取得，即一定在点（2，2）取得，∴2a+6b≤4，
作出：$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+3b≤2}\end{array}\right.$的可行域如图蓝色的三角形的区域，
∴以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个三角形，
面积为：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2$=$\frac{2}{3}$．
由a≤0，b≥0；a≤0，b≤0；a≥0，b≤0；三种情况可知可行域类似a≥0，b≥0的情况，分别为红色三角形区域；黑色三角形区域；黄色三角形区域；
以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积是：4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的相关知识．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．