Question

13．△ABC中，A=30°，AB=2$\sqrt{3}$，2≤BC≤2$\sqrt{3}$，则△ABC面积的范围是$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+$（2\sqrt{3}）^{2}-2×2\sqrt{3}b$cos30°．已知：2≤BC≤2$\sqrt{3}$，可得4≤a²≤12，利用4≤b²-6b+12≤12，解出b的取值范围，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}bsin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，即可得出取值范围．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+$（2\sqrt{3}）^{2}-2×2\sqrt{3}b$cos30°=b²-6b+12，
∵2≤BC≤2$\sqrt{3}$，∴4≤a²≤12，
∴4≤b²-6b+12≤12，
解得：0＜b≤2或4≤b≤6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}bsin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$∈$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．
故答案为：$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了余弦定理、不等式的解法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．