Question

16．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.4，一旦发生，将造成500万元的损失．　现有A，B两种相互独立的预防措施可以使用．单独采用A预防措施所需的费用为80万元，采用A预防措施后此突发事件发生的概率降为0.1．单独采用B预防措施所需的费用为30万元，采用B预防措施后此突发事件发生的概率降为0.2．现有以下4种方案；
方案1：不采取任何预防措施；
方案2：单独采用A预防措施；
方案3：单独采用B预防措施；
方案4：同时采用A，B两种预防措施．
分别用X_i（i=1，2，3，4）（单位：万元）表示采用方案i时产生的总费用．　（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件的损失）
（1）求X₂的分布列与数学期望E（X₂）；
（2）请确定采用哪种方案使总费用最少．

Answer 1

分析 （1）X₂的所有可能的取值是80，580，分别求出相应的概率，由此能求出X₂的分布列和E（X₂）．
（2）分别求出X₁，X₂，X₃，X₄的分布列和数学期望，经比较在E（X₁），E（X₂），E（X₃），E（X₄）中E（X₄）最小，故为使总费用最小采用方案4．

解答 解：（1）X₂的所有可能的取值是80，580，
P（X₂=80）=0.9，
P（X₂=580）=0.1，
X₂的分布列如下

X2	80	580
P	0.9	0.1

E（X₂）=80×0.9+580×0.1=130（万元）…（4分）
（2）X₁的分布列如下

X1	0	500
P	0.6	0.4

E（X₁）=0×0.6+500×0.4=200（万元）
X₃的分布列如下

X3	30	530
P	0.8	0.2

E（X₃）=30×0.8+530×0.2=130（万元）．
X₄的所有可能的取值是110，610，
P（X₄=610）=0.1×0.2=0.02，
P（X₄=110）=1-0.02=0.98，
X₄的分布列如下

X4	110	610
P	0.98	0.02

E（X₄）=110×0.98+610×0.02=120（万元）
经比较在E（X₁），E（X₂），E（X₃），E（X₄）中E（X₄）最小，
故为使总费用最小采用方案4…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求不法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．