Question

11．设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为p（0＜p＜1）．当占半数以上的成员作出正确决策时，系统作出正确决策．要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，p的取值范围是（　　）

• A． （${\frac{1}{3}$，1）
• B． （${\frac{1}{2}$，1）
• C． （-${\frac{2}{3}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 ①先考虑3人做决策的情形，此时系统作成正确决策，需要2人或以上做出正确决策，求出满足条件的概率，②5人做决策时，系统作出正确决策，需要3人或以上做出正确决策，求出满足条件的概率，若5人成员决策系统更可靠，得到关于p的不等式，求出p的范围即可．

解答 解：先考虑3人做决策的情形，
此时系统作成正确决策，需要2人或以上做出正确决策，
即此概率为3p²（1-p）+p³=3p²-2p³，
而5人做决策时，系统作出正确决策，需要3人或以上做出正确决策，
∴此概率为10p³（1-p）²+5（1-p）p⁴+p⁵=10p³-15p⁴+6p⁵，
5人成员决策系统更可靠，则需要：
10p³-15p⁴+6p⁵＞3p²-2p³
⇒4p-5p²+2p³-1＞0
⇒（p-1）（2p²-3p+1）＞0
⇒（p-1）²（2p-1）＞0
⇒2p-1＞0
⇒p＞0.5，
∴当p超过0.5时，5人成员系统便更可靠，
故选：B．

点评 考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点．