Question

14．给定两个长度为2且互相垂直的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，点C在以O为圆心的圆弧$\widehat{AB}$上变动，若$\overrightarrow{OC}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x+y的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，则|$\overrightarrow{OC}$|=2，可以得出x和y的关系式，
再利用三角换元法求出x+y的最大值．

解答 解：由题意|$\overrightarrow{OC}$|=2，即4x²+y²=4，
∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
令x=cosθ，y=2sinθ，
则x+y=cosθ+2sinθ
=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosθ+$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinθ）
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）≤$\sqrt{5}$；
∴x+y的最大值是$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量模的运算以及利用三角换元法求最值问题，是中档题．