Question

20．定义在（-1，1]上的函数f（x）满足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由题意求出当x∈[-1，0）时的f（x），把函数g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]内恰有3个零点，转化为函数y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|与y=mx+m-1的图象有三个不同交点．数形结合得答案．

解答 解：当x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），
f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$-1=$\frac{1}{x+1}$-1，
若函数g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]内恰有3个零点，
即方程|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1=0在（-1，1]内恰有3个根，
也就是函数y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|与y=mx+m-1的图象有三个不同交点．
作出函数图形如图：

由图可知，过点（-1，-1）与点（$-\frac{1}{3}$，0）的直线的斜率为$\frac{3}{2}$；
过点（-1，1），且与曲线y=$\frac{1}{x+1}-1-\frac{1}{2}$=$\frac{-3x-1}{2（x+1）}$相切的切点为（x₀，y₀），
则$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{-1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$，
切线方程为y+$\frac{3{x}_{0}+1}{2（{x}_{0}+1）}=-\frac{1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$（x-x₀），则切点为（$-\frac{1}{5}，-\frac{1}{4}$）．
∴切线的斜率为k=$\frac{1-\frac{1}{4}}{-1-（-\frac{1}{5}）}=-\frac{25}{16}$，由对称性可知，过点（-1，-1）与曲线|f（x）-$\frac{1}{2}$|在（-1，0）上相切的切线的斜率为$\frac{25}{16}$．
∴使函数y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|与y=mx+m-1的图象有三个不同交点的m的取值范围为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点判定定理，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了利用导数求曲线的切线方程，是中档题．