Question

已知函数f（x）=（x²+ax）•e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x₂处取得极小值，分当x₂＞0，x₂≤0，两种情况讨论即可

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=[（x²+（a+2）x+a]•e^x，
△=（a+2）²-4a=（a-2）²，≥0，恒成立
令f′（x）=0，解得x₁=

-(a+2)- a2+4

2

，x₂=

-(a+2)+ a2+4

2

，
当f′（x）＞0，解得x＞x₂，或x＜x₁，
当f′（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂，
故函数f（x）在（-∞，

-(a+2)- a2+4

2

）和（

-(a+2)+ a2+4

2

，+∞）为增函数，
在（

-(a+2)- a2+4

2

，

-(a+2)+ a2+4

2

）为减函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x₂处取得极小值，
当x₂＞0，即

-(a+2)+ a2+4

2

＞0，解得a＜0时，x₂∈[0，+∞），则f（x）在x=

-(a+2)+ a2+4

2

处取得极小值，
当x₂≤0，解得a≥0时，x₂∈[0，+∞），则f（x）在x=0处取得极小值，
综上所述，当a＜0时，x的值为

-(a+2)+ a2+4

2

，
当a≥0时，x的值为0

点评：本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题