Question

棱长为a的正方体AC1中，设M、N、E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求证：面AMN∥面EFBD．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要证明EF∥BD即可；
（2）利用面面平行的判定定理，只要判断EF∥MN，FB∥AN，即可．

解答： 证明：（1）因棱长为a的正方体AC1中，设E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点，
所以EF∥B₁D₁，
又B₁D₁∥BD，
所以EF∥BD，
所以E、F、B、D四点共面；
（2）因为M、N、E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点．
所以EF∥B₁D₁∥MN，
即EF∥MN，
连接FN，由四边形A₁B₁FN是平行四边形，

所以FN∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
所以FN∥AB，FN=AB，
所以FB∥AN，又EF∩FB=F，MN∩AN=N，
所以面AMN∥面EFBD．

点评：本题考查了以正方体为载体的四点共面以及面面平行的判定，关键是正确利用正方体的性质以及已知为面面平行创造条件．