Question

17．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+a|．
（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；

（Ⅱ）分$-a＞\frac{1}{2}$与$-a≤\frac{1}{2}$两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x＜\frac{1}{2}}\\{3x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
其图象如图所示，易知y=f（x）图象与直线y=3交点坐标，
所以围成区域的面积为$\frac{1}{2}$[1-（-1）]×（3-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）当$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（{x＜\frac{1}{2}}）\\ x-a-1（{\frac{1}{2}≤x＜-a}）\\ 3x+a-1（{x≥-a}）\end{array}\right.$．
所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a-1$，
所以$\frac{1}{2}$-a-1=1，解得a=-$\frac{3}{2}$，满足题意；
当$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（{x＜-a}）\\-x+a+1（{-a≤x＜\frac{1}{2}}）\\ 3x+a-1（{x≥\frac{1}{2}}）\end{array}\right.$，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{1}{2}$+a|=$\frac{1}{2}$+a=1，解得a=$\frac{1}{2}$，满足题意；
综上所述，$a=-\frac{3}{2}$或$a=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查分段函数的应用，涉及三角形面积的计算，以及分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．