Question

19．数列1，$\frac{1}{1+2}$，$\frac{1}{1+2+3}$，…，$\frac{1}{1+2+…+n}$的前n项和为（　　）

• A． $\frac{2n}{2n+1}$
• B． $\frac{2n}{n+1}$
• C． $\frac{n+2}{n+1}$
• D． $\frac{n}{2n+1}$

Answer 1

分析 求出通项公式的分母，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
数列1，$\frac{1}{1+2}$，$\frac{1}{1+2+3}$，…，$\frac{1}{1+2+…+n}$的前n项和：
数列1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+n}$=2（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…$+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
故选：B．

点评 本题考查数列求和的方法，裂项消项法的应用，考查计算能力．