Question

17．已知圆C过点（1，2）和（2，1），且圆心在直线x+y-4=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若一束光线l自点A（-3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到圆C上，若反射点为M（a，0），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，可知反射线必过定点A′（点是点A关于x轴对称的点），利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态．

解答 解：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，4-x），则（x-1）²+（2-x）²=（x-2）²+（3-x）²，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圆C的方程C：（x-2）²+（y-2）²=1；
（Ⅱ）A关于x轴的对称点A′（-3，-3），设过A′的直线为y+3=k（x+3），
当该直线与⊙C相切时，有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或k=$\frac{3}{4}$
∴过A′，⊙C的两条切线为y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x₁=-$\frac{3}{4}$，x₂=1
∴反射点M在x轴上的范围是[-$\frac{3}{4}$，1]．

点评 重点考查了点关于线对称点的求法，还考查了解决问题是抓住临界状态这一特殊位置求解的思想．