Question

2．已知函数f（x）=|log_a|x-1||（a＞0，a≠1），若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=2．

Answer 1

分析 不妨设a＞1，令f（x）=|log_a|x-1||=b＞0，从而可得x₁=-a^b+1，x₂=-a^-b+1，x₃=a^-b+1，x₄=a^b+1，从而解得．

解答 解：不妨设a＞1，
则令f（x）=|log_a|x-1||=b＞0，
则log_a|x-1|=b或log_a|x-1|=-b；
故x₁=-a^b+1，x₂=-a^-b+1，x₃=a^-b+1，x₄=a^b+1，
故$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=$\frac{2}{1-{a}^{2b}}$，
$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{2}{1-{a}^{-2b}}$；
故$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=$\frac{2}{1-{a}^{2b}}$+$\frac{2}{1-{a}^{-2b}}$
=$\frac{2}{1-{a}^{2b}}$+$\frac{2{a}^{2b}}{{a}^{2b}-1}$=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算．