Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA1=

3

，D是BC中点，E是AA₁中点．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅱ）求证：AD⊥BC₁；
（Ⅲ）求证：DE∥面A₁C₁B．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用体积公式，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅱ）证明面ABC⊥面BC₁，可得AD⊥面BC₁，即可证明AD⊥BC₁；
（Ⅲ）取CC₁中点F，连结DF，EF，证明面DEF∥面

A

1

C1B，即可证明DE∥面A₁C₁B．

解答： （Ⅰ）解：V=S△ABC•AA1=

1

2

×

2

×

2

×

3

=

3

---------------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：∵AB=AC=

2

，∴△ABC为等腰三角形
∵D为BC中点，∴AD⊥BC---------------------------------（4分）
∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，∴面ABC⊥面BC₁------------------------（5分）
∵面ABC∩面BC₁=BC，AD?面ABC，
∴AD⊥面BC₁---------------------------------（6分）
∴AD⊥BC₁---------------------------（7分）
（Ⅲ）证明：取CC₁中点F，连结DF，EF，--------（8分）
∵D，E，F分别为BC，CC₁，AA₁的中点
∴EF∥A₁C₁，DF∥BC₁，-----------------（9分）
∵A₁C₁∩BC₁=C₁，DF∩EF=F
∴面DEF∥面

A

1

C1B-----------------------（11分）
∵DE?面DEF
∴DE∥面A₁C₁B．-----------------------------（12分）

点评：本题考查体积的计算，考查线面垂直，线面平行，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．