Question

若函数f（x）对定义域内的任意x都满足f[f（x）]=x，则称f（x）为“不动点函数”；若存在x₀使得f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为函数y=f（x）的“不动点”
（Ⅰ）已知一次函数y=kx+b（k＞0）是“不动点函数”，求实数k，b的值；
（Ⅱ）求证：二次函数y=ax²+c不可能是“不动点函数”
（Ⅲ）写出正弦函数y=sinx的所有不动点（不必写过程）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由一次函数y=kx+b（k＞0）是“不动点函数”，可得k（kx+b）+b=x，即可求实数k，b的值；
（Ⅱ）利用反证法证明二次函数y=ax²+c不可能是“不动点函数”
（Ⅲ）由sin（sinx）=x可得x=0是其唯一不动点．

解答： （Ⅰ）解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）是“不动点函数”，
∴k（kx+b）+b=x，
∴（k²-1）x+（k+1）b=0，
∴k²-1=0，（k+1）b=0，
∵k＞0，
∴k=1，b=0；
（Ⅱ）证明：假设y=ax²+c是“不动点函数”，则a（ax²+c）²+c=x
∴a³x⁴+2a²cx²-x+ac²+c=0
∴a=c=0，矛盾
∴二次函数y=ax²+c不可能是“不动点函数”
（Ⅲ）解：由sin（sinx）=x可得x=0是其唯一不动点．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是关键．