Question

将10个相同的球分到5个不同的盒子里面，有

 

种分配方法，将10个相同的球分到5个相同的盒子里面，有

 

种分配方法．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：根据分类计数原理，将10个相同的球分到5个不同的盒子里面分四类：分组后再进行排列，将10个相同的球分到5个相同的盒子里面，只分组无需要排列．

解答： 解：①将10个相同的球分到5个不同的盒子里面分四类：
第一类10个球放入同一个盒子有5种方法，
第二类10个球放入两个盒子，10个球可以分为（9，1），（8，2），（7，3），（6，4），（5，5）共5组，有

C

2 5

•

A

1 5

=50种方法，
第三类10个球放入三个盒子，10个球可以分为（8，1，1），（7，1，2）（6，3，1），（6，2，2），
（5，3，2），（5，4，1），（4，4，2），（4，3，3）共8组，有

C

3 5

•（

4A 3 3

A 2 2

+4

A

3 3

）=360种，
第四类10个球放入四个盒子，10个球可以分为（7，1，1，1），（6，2，1，1）（5，3，1，1），
（5，2，2，1），（4，3，2，1），（4，2，2，2），（3，3，3，1），（3，3，2，2）共8组，有

C

4 5

•

A

4 4

•(

3

A 3 3

+

3

A 2 2

+

1

A 2 2 • A 2 2

+1)=390种，
第五类10个球放入五个盒子，10个球可以分为（6，1，1，1，1），（5，2，1，1，1）（4，3，1，1，1），（4，2，2，1，1）共4组，有

A 5 5

A 4 4

+

2A 5 5

A 3 3

+

A 5 5

A 2 2 • A 2 2

=75种，
根据分类计数原理可得1+50+360+390+75=876种，
②将10个相同的球分到5个相同的盒子里面，
第二类10个球放入两个盒子，10个球可以分为（9，1），（8，2），（7，3），（6，4），（5，5）共5组，有5种
第三类10个球放入三个盒子，10个球可以分为（8，1，1），（7，1，2）（6，3，1），（6，2，2），（5，3，2），（5，4，1），（4，4，2），（4，3，3）共8组，有8种，
第四类10个球放入四个盒子，10个球可以分为（7，1，1，1），（6，2，1，1）（5，3，1，1），（5，2，2，1），（4，3，2，1），（4，2，2，2），（3，3，3，1），（3，3，2，2）共8组，有8种，
第五类10个球放入五个盒子，10个球可以分为（6，1，1，1，1），（5，2，1，1，1）（4，3，1，1，1），（4，2，2，1，1）共4组，有4种，
根据分类计数原理可得5+8+8+4=25种，
故答案为：876，25

点评：本题考查了分类原理和分步计数原理，以及分组分配的问题，题目很复杂，需要仔细，属于难题．